Question

一道高中数学题。

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac且cosB=3/4. ⑴求1/tanA+1/tanC的值；⑵设向量BA*向量BC=3/2，求a+c的值。
请有能者速速解答！

Answer 1

1/tanA+1/tanC
=cosA/sinA+cosC/sinC
=(cosAsinC+sinAcosC)/(sinAsinC)
=sin(A+C)/(sinCsinA)
=sinB/(sinCsinA)
由cosB=3/4得sinB=√(1-(3/4)^2)=√7/4
由正弦定理知道 b/sinB=a/sinA=c/sinC=2R
所以sinB/(sinCsinA)=(sinB)^2/(sinAsinBsinC)
=(b/2R)^2/(a/2R*c/2R*sinB)
=b^2/(ac*sinB)
=1/sinB
=4√7/7
BA_*BC_=3/2 即 c*a*cosB=3/2
有： b^2*3/4=3/2,即 b^2=2
根据余弦定理有：
a^2+c^2-2ac*cosB=b^2
a^2+c^2=2ac*cosB+b^2
(a+c)^2=b^2+2ac+2ac*cosB=b^2(3+2cosB)=2*(3+2*3/4)=9
a+c=3

Answer 2

（1）先通分，分子变为sinB,分母用正弦定理变化一下，化简得1/sinB=七分之四倍根号七。根据向量乘等于3/2得ab=2，再根据余弦定理得a^2+b^2=7/2 最后得a+c=二分之根好三十

Answer 3

1.根据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC 且 b^2=ac
得：(sinB)^2 = sinA*sinC
∵在△ABC中，cosB=3/4
∴sinB=√[1 - (cosB)^2] =√7/4
1/tanA + 1/tanC=cosA/sinA + cosC/sinC = (cosAsinC+cosCsinA) / sinAsinC
=sin(A+C) / sinAsinC = sin(π-B) / sinAsinC
=sinB / (sinB)^2 = 1/sinB = 4√7/7
2.向量BA*向量BC= |BA|*|BC|*cosB = ac*cosB=3/2
∴ac=2 ，则：b^2=2
∵cosB=(a^2 + c^2 - b^2) / 2ac = (a^2 + c^2 - 2) / 4 =3/4
∴a^2 + c^2=5
(a+c)^2=a^2 + c^2 + 2ac =5 + 4 = 9
∴a+c=3