Question

在四棱锥P-ABCD中。底面ABCD是正方形侧棱PD⊥底面ABCD.PD=DC.过BD做与PA平行的平面叫棱PC于点E，又作DF⊥P

在四棱锥P-ABCD中。底面ABCD是正方形侧棱PD⊥底面ABCD.PD=DC.过BD做与PA平行的平面叫棱PC于点E，又作DF⊥PB交PB于F..求证：E是PC的中点.. 求证：PB⊥平面EFD

Answer 1

1、连结AC、BD，交于O点，连结BE、DE、OE，

∵PA//平面BDE，

OE∈平面BDE，

∴PA//OE，

O是正方形ABCD对角线交点，

∴AO=CO，

∴OE是三角形APC中位线，

∴E是PC的中点。

2、∵PD=CD，

〈PDC=90度，

∴三角形PDC是等腰直角三角形，

设AB=BC=CD=AD=PD=1，

则PC=√2，PE=√2/2，

PB=√（PD^2+BD^2)=√3,

∵BC⊥CD，

∴根据三垂线定理，BC⊥PC，

〈DFP=90度，

PD^2=PF*PB,(直角三角形直角边是其在斜边射影及斜边的比例中项），

PF=√3/3，

∵PF/PC=√6/6，

PE/PB=√6/6，

∴PF/PC=PE/PB，

∵〈FPE=〈CPB，（公用角），

∴△PFE∽△PCB，

∴〈PFE=〈PCB=90度，

∴PB⊥EF，

PB⊥DF，

∵DF∩EF=F，

∴PB⊥平面DEF。

Answer 2

1. 连接AC，交BD于点O，连接OE，OE是平面PAC与平面BDE的交线，
因为PA平行的平面BDE 所以PA//OE，O为AC中点，所以E是PC的中点

2. PD⊥底面ABCD PD⊥BC
CD⊥BC
BC⊥面PCD
BC⊥DE
E是PC的中点 PD=DC DE⊥PC
DE⊥面PBC
DE⊥PB
DF⊥PB
PB⊥平面EFD