Question

大一线性代数证明题

证明：两个非零向量线性相关的充要条件是两向量的各个分量对应成比例

Answer 1

设（x1 x2 ···xn）,(y1 y2···yn）为两非零向量
先证充分性：因为（x1 x2 ···xn）,(y1 y2···yn）各分量对应成比例，设此比例为k
即xi=kyi,故有（x1 x2 ···xn）=k(y1 y2···yn）所以线性相关
再证必要性：因为（x1 x2 ···xn）,(y1 y2···yn）线性相关，由线性相关的定义则有（x1 x2 ···xn）=k(y1 y2···yn），故有xi=kyi
所以（x1 x2 ···xn）,(y1 y2···yn）各分量对应成比例

Answer 2

证: 必要性. 设 a1,a2 线性相关, 则存在不全为0的数 k1,k2 使 k1a1+k2a2 = 0
不妨设k1 != 0 (不等于0). 则 a1 = (k2/k1)a2, 所以a1,a2 对应的分量成比例.
充分性. 设 a1,a2 的各个分量对应成比例, 则 a1 = k a2. 即有 1a1 - ka2 = 0.
即有不全为零的数 1, k 使得 1a1 - ka2 = 0. 所以 a1,a2 线性相关.