Question

请教一个高中数列题目

数集A={a1,a2,a3.......an},且0<a1<a2<.......<an, n>2,对任意自然数i,j(1 <= i<=j<=n) <=表示小于等于。aj-ai和aj+ai两个数中至少有一个数属于集合A。
（1）证明：a1=0,且a1+a2+.................+an=0.5*n*an
(2) 证明an 是等差数列。
题目是0<=a1<a2<.......<an,请告诉回答，在线等答案。

Answer 1

可以参考北京09年高考理科数学最后一题
在这里简单写一下证明思路。
an>0是A中最大元，所以an+an不在A中，所以an-an在A中，从而0属于A。
由A中元素大小关系可知
a1=0
an>0是A中最大元，则对于任意ai属于A（i≥2），有ai>0，从而an+ai>an，即an+ai不属于A
从而有an-ai属于A。考虑到ai的大小，由0<=a1<a2<.......<an知，
0<an-an-1<an-an-2<.......<an-a1=an（注意a1=0）从而有
a1=0=an-an
a2=an-an-1
a3=an-an-2
.......
an=an-a1
对上式累加求和，即可得到
a1+a2+.................+an=0.5*n*an
最后一问应该是限定在n=5时，因为n=2时成立，n=4时｛0，1，4，5｝就是反例
n=5时
a5-a2=a4
a5-a3=a3
a3+a4>a3+a3=2a3=a5 所以a4-a3属于A，
a4>a4-a3>0,若a4-a3=a3则a4=2a3=a5矛盾，故a4-a3=a2,即a4=a3+a2
a5=a2+a4=a2+(a3+a2)=2a3
所以a3=2a2
所以a4=3a2，a5=4a2
即当n=5时｛an｝成等差数列
当n=2^m+1时｛an｝是等差数列，其他情况均可举出反例

追问

问一个高中圆和椭圆的证明题
在圆上取点。该点不是顶点。假设取A(M,N),B(M,-N),再在圆上取一个点C(P,Q),连接AC,BC，AC,BC和X轴的交点分别为E,F.证明：则点E和点F的横坐标之积为该圆半径的平方。如果把题目条件改为椭圆，那么点E和点F的横坐标之积是什么？证明之。
能帮我做一下这个题吗？

Answer 2

数集A={a1,a2,a3.......an},且0<=a1<a2<.......<an, n>2,对任意自然数i,j(1 <= i<=j<=n) <=表示小于等于。aj-ai和aj+ai两个数中至少有一个数属于集合A。
（1）证明：a1=0,且a1+a2+.................+an=0.5*n*an
(2) 证明an 是等差数列。
（1）证明：当i=j=n>2时，aj-ai=0，aj+ai=2an>an,显然后者不会在集合A中，所以只有0是属于集合A的，由于集合A是非负的单调增集合，只有最小的数等于0，所以a1=0.
设j恒等于n，i=1时，ai=0，此时an-ai=an+ai=an
当i>=2时，ai>0于是an+ai>an,所以an-ai是集合A的元素，由于A中各元素都不相同，于是A中各元素分别是an-an,an-an-1(n-1是下标）...............一直到an-a1，于是a1+a2++....................an=an-an+an-an-1+....................an-a1所以a1+a2+.................+an=0.5*n*an
（2）an-an-1=a2是固定值，所以A是等差数列