Question

用复变函数的方法展开cos 5X=? sin 5X=? 推广cos NX=? sin NX=?

Answer 1

e^ix=cosx+isinx,e^(-ix)=cosx-isinx,那么cosx=（e^x+e^(-ix)）/2,sinx=（e^x-e^(-ix)）/2,那么的话，cos5x，sin5x，cosNx和sinNx的只不过把5x，Nx相当于之前的x而已啊。

复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。

共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。

内容：

复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面。

那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

Answer 2

你指的是柯西不等式吗？e^ix=cosx+isinx,e^(-ix)=cosx-isinx,那么cosx=（e^x+e^(-ix)）/2,sinx=（e^x-e^(-ix)）/2,那么的话，cos5x，sin5x，cosNx和sinNx的只不过把5x，Nx相当于之前的x而已啊。cos5x=（e^5x+e^(-5ix)）/2，,sin5x=（e^5x-e^(-5ix)）/2，,cosNx=（e^Nx+e^(-Nix)）/2，sinNx=（e^Nx-e^(-Nix)）/2.

Answer 3

解：设 z =cos x +i sin x,
则 z^5 =cos 5x +i sin 5x,
令 a =cos x, b =sin x,
则 z =a +bi,
所以 z^5 =(a +bi)^5
= a^5 +5 (a^4)b i +10 (a^3) (bi)^2
+10 (a^2) (bi)^3 +5 a (bi)^4 +(bi)^5
= a^5 +5 (a^4) bi -10 (a^3) b -10 (a^2) (b^3) i +5a(b^4) +(b^5)i
= a (a^4+5 b^4) +5b [ a^4 -2 (a^3) -2 (a^2) (b^2) +5a(b^3) ] i .
所以 cos 5x = a (a^4+5 b^4),
sin 5x =5b [ a^4 -2 (a^3) -2 (a^2) (b^2) +5a(b^3) ],
其中, a =cos x, b =sin x.

= = = = = = = = =
以上计算可能有误。
cos Nx, sin Nx 也类似吧。不过要用二项式展开，判断正负，很麻烦。