求证:a^2+b^2+c^2>=1/3(a+b+c)^2
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a、b、c∈R
因a^2+b^2>=2ab
因a^2+c^2>=2ac
因b^2+c^2>=2bc
3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^4
=[(a²+b²+c²)+(a²+b²)+(b²+c²)+(c²+a²)](a+b+c)^4
≥(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca )=(a+b+c)^2
即
3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^4≥(a+b+c)^2
3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2≥1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2
因a^2+b^2>=2ab
因a^2+c^2>=2ac
因b^2+c^2>=2bc
3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^4
=[(a²+b²+c²)+(a²+b²)+(b²+c²)+(c²+a²)](a+b+c)^4
≥(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca )=(a+b+c)^2
即
3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^4≥(a+b+c)^2
3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2≥1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2
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