Question

已知a:b=b:c 求证(a+b+c)的平方+a平方+b平方+c平方=2（a+b+c）（a+c）

Answer 1

证明：（a+b+c)的平方+a平方+b平方+c平方
=a平方+b平方+c平方+2ab+2ac+2bc+a平方+b平方+c平方
=2（a平方+b平方+c平方+ab+ac+bc）
又由a:b=b:c得b平方=ac
则原式=2（a平方+c平方+ab+2ac+bc）
=2[（a+c）（a+c）+b(a+c)]
=2(a+c+b)(a+c)=右边
得证。

Answer 2

证明：因为 a/b =b/c,
所以 b^2 =ac.
所以 (a +b +c)^2 +a^2 +b^2 +c^2
= 2(a^2) +2(b^2) +2(c^2) +2ab +2bc +2ac
= 2 [ (a^2) +ac +(c^2) +ab +bc +ac ]
= 2 [ (a^2) +2ac +(c^2) +ab +bc ]
= 2 [ (a +c)^2 +b (a +c) ]
= 2 (a +b +c) (a +c).

Answer 3

证明：由a:b=b:c，得b^2=ac。则
(a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2+a^2+2b^2+c^2-b^2
=(a+b+c)^2+a^2+2ac+c^2-b^2
=(a+b+c)^2+(a+c)^2-b^2
=(a+b+c)^2+(a+c+b)(a+c-b)
=(a+b+c)(a+b+c+a+c-b)
=2(a+b+c)(a+c)
证毕

Answer 4

∵b²=ac
(a+b+c)²+a²+b²+c²
=2a²+2b²+2c²+2ab+2ac+2bc
=2a²+2c²+2ab+4ac+2bc
=2(a²+c²+ab+2ac+bc)
=2(a²+2ac+c²+ab+bc)
=2[(a+c)²+b(a+c)]
=2(a+c+b)(a+c)