Question

设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),当x≥0时,f(x)≥ax恒成立,求a的取值范围

设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),当x≥0时,f(x)≥ax恒成立,求a的取值范围、、需要过程及思路

Answer 1

分离常数法求解
解：若x≥0时,f(x)≥ax恒成立
当x=0上式取等号显然恒成立
当x>0,问题等价于a≤minh(x),x>0,其中h(x)=f(x)/x=[(x+1)ln(x+1)]/x
h'(x)=[x-ln(x+1)]/x²,x>0
下面判断h'(x)的符号,记g(x)=x-ln(x+1),x≥0
g'(x)=x/(1+x)>0,x>0,知g(x)在x>0上单调递增，又g(x)可在x=0处连续则
g(x)>g(0)=0,x>0
于是有h'(x)>0,x>0,知h(x)在x>0上单调递增
则minh(x)=(x->0)limh(x)
=(x->0)lim[(x+1)ln(x+1)]/x【等价无穷小ln(x+1)~x】
=(x->0)lim[x(x+1)]/x
=(x->0)lim(x+1)
=1
所以由a≤minh(x),得到a的取值范围a∈(-∞,1]

【注：再求h(x)的极限时，(x->0)lim[(x+1)ln(x+1)]/x对于这种分子分母为0/0型的极限也可用用罗比达法则求解，即分子分母同时求导。当然本题也可以不用分离常数的方法，只需minF(x)=f(x)-ax≤0,x≥0即可，但需要分类讨论a的大小】