Question

一道定积分的题目

求 ln(1+x)/(1+x^2)在[0，1]上的定积分 详细过程

Answer 1

令x=tana,x∈[0，1],所以a∈[0°，45°]
∫ln(1+x)/(1+x^2)dx
=∫ln(1+tana)/(seca)^2dtana
=∫ln(1+tana)da
注意到ln(1+tana)+ln(1+tan(π/4-a))
=ln(1+tana+tan(π/4-a)+tanatan(π/4-a))
=ln(1+tanatan(π/4-a)+tan(a+π/4-a)(1-tanatan(π/4-a))
=ln2
又因为∫ln(1+tana)da=∫ln(1+tan(π/4-a))da (π/4-a代换a)
所以∫ln(1+tana)da=1/2(∫ln(1+tana)da+∫ln(1+tan(π/4-a))da)
=1/2∫(ln(1+tana)+ln(1+tan(π/4-a))da
=1/2∫ln2da
=ln2*a/2(a在0到π/4)
=ln2*π/8
做了好久，采纳啊