Question

【在线等】定积分题求解

设函数f(x)=当x<0时 等于(1+e^x）分之一
当x>=0时 等于（1+x）分之一
求f(x-1)在0到2上的定积分

不知道说清楚了吗？向高手求解！
谢谢！

Answer 1

如下是一种方法，另一种是可先求出f(x-1)再积分。

追问

那个I1能再解释一下吗？dx在换元后不硬挨是dt+1了吗？怎么是dt呢？
还有怎么变成d e^t的，谢谢啊

追答

(1) d(t+1) = dt, 直接就写dt 了。
(2) 分子分母同乘以e^t, 分子就是 e^tdt = d(e^t),这是凑微分法
看来您基础知识还有些欠缺，加把劲，您一定能成功！！

Answer 2

f(x)=1/(1+e^x）,x<0
1/（1+x）,x>=0
将f(x)的图象向右移一个单位，得到f(x-1)的图象
f(x-1)=1/[1+e^(x-1)],x<1
1/x, x>=1
f(x-1)在0到2上的定积分
=1/[1+e^(x-1)]在0到1上的定积分+1/x在1到2上的定积分
1/[1+e^(x-1)]=[1+e^(x-1)-e^(x-1)]/[1+e^(x-1)]=1-{e^(x-1)/[1+e^(x-1)]}
1/[1+e^(x-1)]的原函数是x-ln[1+e^(x-1)]
1/x的原函数是lnx
1/[1+e^(x-1)]在0到1上的定积分=[1-ln(1+e^0)]-[0-ln(1+1/e)]=1-ln2+ln(1+1/e)
1/x在1到2上的定积分=ln2-ln1=ln2
f(x-1)在0到2上的定积分=1-ln2+ln(1+1/e)+ln2=1+ln(1+1/e) =1+ln(e+1)-1=ln(e+1)