Question

若关于x的方程a平方x平方-（3a平方-13a+15)=0(a≠0）至少有一个整数根，求整数a的值

Answer 1

a平方x平方-（3a平方-13a+15)
可得x^2=（3a^2-13a+15)/a^2
由于其有整数解，所以，（3a^2-13a+15)/a^2必须为完全平方数。
（3a^2-13a+15)/a^2=3+(-13a+15)/a^2
令k=(-13a+15)/a^2=-13/a+15/a^2,可得a为整数时，k的最大值为，13+15=28
且因为ka^2+13a-15=0 （1）
则必须有，13^2+4*15*k>0
k>=-3
故k的取值范围为，-3~28
且k+3和13^2+4*15*k均为完全平方数。
经检验k=-2;k=6;均能使两者为完全平方数，分别代入方程（1）可得
k=-2时，a=5
k=6时，a=-3
故a的值有两个，a=5或a=-3