Question

高中数学2题关于导数

1、已知函数y=x² — lnx的一条切线斜率为1，求切点坐标
2、求曲线y=—x³+x²+2x与x轴围成的图形面积

Answer 1

1、已知函数y=x² -lnx的一条切线斜率为1，求切点坐标
解：令y′=2x-1/x=1, 得2x²-x-1=(2x+1)(x-1)=0,故得x₁=-1/2(舍去）; x₂=1; 相应的，y₂=1.
即切点的坐标为（1，1）。
2、求曲线y=-x³+x²+2x与x轴围成的图形面积
解：令y=-x³+x²+2x=-x(x²-x-2)=x(x-2)(x+1)=0,得x₁=-1; x₂=0; x₃=2.
该曲线的定义域为（-∞，+∞）当x<-1和x>2时曲线与x轴之间的面积是开放的，它们的绝对值都
是无穷大，无法计算，只能计算[-1, 0]和[0, 2]内的面积。[-1, 0]内的面积为负值，故要取绝对值
S=│(-1,0)∫(-x³+x²+2x)dx│+(0,2)∫(-x³+x²+2x)dx
=│[-x⁴/4+x³/3+x²](-1,0)│+[-x⁴/4+x³/3+x²](0,2)
=│-(-1/4-1/3+1)│+[-4+8/3+4]
=│-5/12│+8/3=5/12+8/3=37/12.

Answer 2

解：（1）设这条切线为l：y=x+b, f(x)=x^2-lnx-(x+b)=x^2-x-lnx-b.
则：f'(x)=2x-1-1/x=0。
又x>0(原函数中包含ln x), 则切点为：(1/2,1/4+ln2).
（2）y= - x^3+x^2+2x=0时，x=0, -1, 2.
F(x)=∫y dx= -x^4/4+x^3/3+x^2+c, 其中c是一个常数。（F'(x)=y）
则：S1=|F(0)-F(-1)|=5/12, S2=|F(2)-F(0)|=8/3.
于是：S=S1+S2=37/12.

第二问用到了积分的原理。

Answer 3

1、 函数求导 Y‘=2X-1/X 切线K=1 2X-1/X=1 求得X1= X2= 方程无解，不存在这样的切点

2、 令—x³+x²+2x=0 解得：X1=0 X2= 2 X3=-1 与X轴有3个交点，分段 积分得面积：37/12

Answer 4

1,y'=2x-1/x,因为斜率为1，所以y'=1.可求x=1,
x=1代入原方程，切点(1,1)
2,因为y=-x^3+x^2+2x 所以 y=-x(x^2-x-2) 可知有3个解,x=-1.x=0,x=2
反导可得，F(x)=-1/4x^4+1/3x^3+x^2,
S=F(2)-F(0)+F(-1)-F(0)

追问

第二题是微积分的