Question

在以O为原点的直角坐标系中,,点A(4,-3)为三角形OAB的直角顶点.已知|OB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.求向量A

的坐标？
向量AB的坐标

Answer 1

设B（a,b）
向量OA=（4-0，-3-0）=（4，-3）
向量AB=(a,b)-(4,-3)=(a-4,b+3)
因为：OA垂直于AB 故：OA与AB的数量积为0
所以(4,-3).(a-4,b+3)=0 即：4(a-4)-3(b+3)=0 (1)
因为/AB/=2/0A/，/0A/=5，所以/AB/=10 故:(a-4)^2+(b+3)^2=100 (2)
联立(1)(2)解方程：(将a-4,b+3看着整体)
解得：a-4=6,b+3=8 或者 a-4=-6,b+3=-8
所以向量AB=(a-4,b+3)=(6,8)或(-6,-8)
方法二：
首先，画一个图，根据题意要求。
可以求出OA=5，且AB=10（/AB/=2/OA/）。
又因为OAB为直角，那么可以得出两个等式。
1.OA*AB=0，（向量的垂直搞定）
2./AB/=10. （距离公式搞定）
两个方程联立就可以求出B的坐标，那么向量AB就可以计算出来了。
总结：以上是考察对向量的基本运用，还附带考察方程组的思想。

第二问：可以从一下方面进行分析，
如果存在对称的，请自己画一个图，设两个未知的点，一个是F(x1,y1)
G（x2,y2）
直线FG垂直于OB，则根据向量垂直公式可以得到一个方程：FG*OB=0.
而x1,y1 x2,y2均在抛物线y=ax^2-1上，那么可以表示成为F（x1,ax1^2-1）
G同理。则参数可以简化为x1,x2,a我们已经有一个方程了。

对称可以使用FG的中点坐标一定在直线OB上。第二个方程。
对称还有一个就是点到直线的距离相等。第三个方程。

三个方程，三个未知数，搞定。
深度考察方程于函数思想的运用。

总结：
1.关于直线对称性：垂直+距离相等+中点坐标。
2.解析几何思想：运用方程简化参数，如F（x1,ax1^2-1）
3.方程的个数由未知数决定。祝你好运！