Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B两点（点A在点B的左侧),与Y轴交于点C,顶点为E。

Answer 1

解：（1）当b=2，c=3时，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，即y=-（x-1）2+4；
∴抛物线顶点E的坐标为（1，4）（2分）

（2）将（1）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上，有b=2，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+c（c＞0）；
∴此时，抛物线与y轴的交点为C（0，c），顶点为E（1，1+c）；
∵方程-x2+2x+c=0的两个根为 x1=1-1+c， x2=1+1+c，
∴此时，抛物线与x轴的交点为A（1- 1+c，0），B（1+ 1+c，0）；
如图，过点E作EF‖CB与x轴交于点F，连接CF，则S△BCE=S△BCF

∵S△BCE=S△ABC，
∴S△BCF=S△ABC
∴ BF=AB=21+c
设对称轴x=1与x轴交于点D，
则 DF=12AB+BF=31+c
由EF‖CB，得∠EFD=∠CBO
∴Rt△EDF∽Rt△COB有 EDDF=COOB
∴ 1+c31+c=c1+1+c结合题意，解得 c=54
∴点 C，(0，54)， B，(52，0)设直线BC的解析式为y=mx+n，则
{54=n0=52m+n，解得 {m=-12n=54；
∴直线BC的解析式为 y=-12x+54；（6分）

（3）根据题意，设抛物线的顶点为E，（h，k），h＞0，k＞0；
则抛物线的解析式为y=-（x-h）2+k，
此时，抛物线与y轴的交点为C，（0，-h2+k），
与x轴的交点为 A，(h-k，0)， B，(h+k，0)， k＞h＞0、
过点E作EF‖CB与x轴交于点F，连接CF，
则S△BCE=S△BCF；
由S△BCE=2S△AOC，
∴S△BCF=2S△AOC，得 BF=2AO=2(k-h)；
设该抛物线的对称轴与x轴交于点D；
则 DF=12AB+BF=3k-2h；
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有 EDDF=COOB
∴ k3k-2h=-h2+kh+k，即 2h2-5kh+2k=0
结合题意，解得 h=12k①
∵点E（h，k）在直线y=-4x+3上，有k=-4h+3②
∴由①②，结合题意，解得 k=1
有k=1， h=12
∴抛物线的解析式为 y=-x2+x+34．（10分）

Answer 2

相交于X轴，即Y=0，即解-x2+bx+c=0,求出x的两个值，A比B小，求出b，c