Question

关于微分方程隐式通解的问题

书上对微分方程的通解中要求是C是任意常数
在对可分离变量的微分方程g(y)dy=f(x)dx求出它的隐式通解G(y)=F(x)+C中C也是任意实数，可问题来了：
再对G(y)=F(x)+C再求方程的解时，书上的例子中的C有些却不是真正的任意实数(比如非0任意实数），这让我很疑惑

我拿书上的一个例子吧：

解微分方程 dy/dx = -ky ,y>0

方程式可分离变量的,因此有dy/y = -kdx
得出lny = -kx + lnC ，lnC为任意常数
所以lny = -kx + lnC是方程的隐式通解
求出 y = Cln(-kx) ① 为方程的解
我的问题就在①处，通过隐式通解中的lnC是任意常数知道C应该是大于0的任意常数。
不符合微分方程通解的定义啊

难道在这种问题上，只要隐式通解中的常数是任意常数就够了？

Answer 1

那个，①应该是y=Ce^(-kx)吧
你看书很认真，我看的时候没管这个
我讲讲我的看法
lny = -kx + lnC这个式子本身就有点问题
因为根据ln的定义，y与C必须是正数
但实际上y，C同号就可以了
可以化为ln(y/C)=-kx，得y=Ce^(-kx)
这样的话，对y，C就没有正负的限制了
一般在解微分方程的过程中，不会过多的考虑取值
否则对变量有很大限制
到结果的地方检验下就行了
希望对你有帮助

追问

是我写错了，的确是y=Ce^(-kx)

化为ln(y/C)=-kx的话，C不能为0，同样不算严格的任意常数啊

追答

其实在做的过程中，这些可以不考虑
如果考虑的话，那么dy/dx = -ky往下到dy/y = -kdx的时候
就要排除y=0，也就是C=0的情况
这样就要分类，分y=0，y不等于0
还有1/y的积分也不是lny，必须写为ln（绝对值y）
否则只是y>0的情况
如果用ln（绝对值y），那原来的那个lny = -kx + lnC改为绝对值y，C就没有限制了
y为常数，C=0，为另一种情况
平时做的时候，这些是细节，一般不考虑，因为不会影响结果

Answer 2

实际上我们可以将解写为
lny=-kx+C1
即
y=e^(-kx+C)=e^(C1)*e^(-kx)
其中的C1是任意常数,这意味着它也可以是复数.
由欧拉公式
e^(it)=cost+isint
可以知道①中的C也可以是任意复数
事实上在解微分方程的过程中出现复数是很自然的,就连函数lnx的定义域也可以是复数(当然也可以是负数)

追问

我没学过复变函数，你的意思是cost+isint能表示任意复数，但是e^(C1)还不能表示任意实数啊？

Answer 3

你自己都说了InC是任意常数，（这也符合原先的定义呀）可能写成InC是为了计算方便吧，这是我现在的理解方式。
其实我现在也非常迷惑着一点，任意常数C为啥非要写成InC的形式，想了想目前这个解释最合理了，希望对你有帮助...