Question

一道极限题

证明lim n√（1+x）=1（x→0）
1+x 开n次方的极限

Answer 1

首先，要知道x→0时，（1+x）^(1/x)的极限为e，即1+x的1/x幂为e，这个公式你看高数教材就知道，那么原式等于（1+x）^[(1/x）*(x/n)]=e^(x/n)=1

追问

再问你个事，n√这个符号是开n次方，那么n怎么取值？原题要求是用极限的夹逼准则证明，但是没讨论n，就当n是≥2的整数看了，是这样吗？

追答

当n≥1，x→0+，则（1+x）^(1/n)>1(1/n)=1,并且，（1+x）^(1/n)<(1+x)^(1/1)=1+x=1.所以由夹逼定理可知x→0+，原式极限是1，然后在讨论其他情况，同样道理，就是很麻烦

Answer 2

证明：(1+x)^1/n -1
=(1+x)^ 1/n -1^ 1/n
=（1+x-1）【（1+x）^1/(n-1)+ （1+x）^1/(n-2)+ （1+x）^1/(n-3)+……+(1+x)+1
=x【（1+x）^1/(n-1)+ （1+x）^1/(n-2)+ （1+x）^1/(n-3)+……+(1+x)+1】
=0
所以，lim n√（1+x）=1（x→0）
注：】【n次方差公式P^n - Q^n=P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+ P^(n-4)*Q^3+……+ P^(n-n)*Q^(n-1)】