Question

高三数学题

已知函数f（x）=x³+ax²＋bx＋c的图像与y轴交于点（0,2），并且在x=1处切线的方向向量为n=（1,3）。
若x=2/3是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式。
若函数f（x）在区间[3/2,2]上单调递增，求实数b的取值范围。
要详细步骤。

Answer 1

函数f(x)=x³+ax²+bx+c的图像与y轴交于点(0,2)，则： c=2。
f'(x)=3x²+2ax+b，
f(x)在x=1处切线的方向向量为n=(1,3)，则：切线的斜率： k=3，
所以f'(1)=3+2a+b=3，
x=2/3是函数f(x)的极值点，则：
f'(2/3)=4/3+4a/3+b=0，
解方程得：a=2，b=-4。
所以f(x)的解析式：f(x)=x³+2x²-4x+2。

3+2a+b=3，
则：2a=-b，
所以f'(x)=3x²+2ax+b=3x²-bx+b，
为开口向上，对称轴为：x=b/6的二次函数。
函数f(x)在区间[3/2,2]上单调递增，则：
函数f'(x)=3x²-bx+b在区间[3/2,2]上大于等于0。
因为二次项系数：3>0，所以
当判别式=b²-12b<=0，即 0<=b<=12时，
函数f'(x)=3x²-bx+b在R上恒大于等于0，满足题设条件；
当b<0,或 b>12，方程3x²-bx+b=0有两个不相等的实根。
所以f'(2)>=0，即12-b>=0，b<=12；
或f'(3/2)>=0，即 27/4-b/2>=0， b<=27/2；
所以b<0。
综上分析，可知：
所求实数b的取值范围为：b<=12。

Answer 2

1、切线的方向向量就是切线的斜率k=3，则有：①f(0)=2，c=2；②f'(x)=3x²＋2ax＋b，则f'(1)=3，即3＋2a＋b=3；③2/3是函数f(x)的极值点，则f'(2/3)=0，解出a=2，b=－4，c=2。
2、由3＋2a＋b=3即2a=－b，代入f'(x)，有f'(x)=3x²－bx＋b，则f'(x)在区间[3/2，2]上恒大于等于0。3x²－bx＋b≥0，3x²≥(x－1)b，由于x－1>0，两边除以x－1，得b≤3x²/(x－1)=3[(x－1)＋1]²/(x－1)=3[(x－1)²＋2(x－1)＋1]/(x－1)=3[(x－1)＋1/(x－1)＋2]，其中1/2≤x－1≤1，故只要b小于其最小值即可。设g(t)=t＋1/t，其中1/2≤t≤1，函数g(t)在[1/2，1]上递减，2≤g(t)≤5/2。则b≤12。

Answer 3

答得都不错，我就不重复啦