Question

直线x-y+m=0与椭圆x^2+4y^2=4相交于A,B两点,求|AB|的最大值,3道椭圆的~~~~~~

1.直线x-y+m=0与椭圆x^2+4y^2=4相交于A,B两点,求|AB|的最大值

2.直线kx-y-2=0交椭圆x^2+4y^2=80于两点A,B 若 AB 的中点的横坐标为2,求|AB|

3.椭圆ax^2+by^2=1与直线y=1-x交于AB两点,过原点与弦AB中点的直线的斜率为根号2/2 求a/b

Answer 1

1.直线x-y+m=0与椭圆x^2+4y^2=4相交于A,B两点,求|AB|的最大值
解：y=x+m代入椭圆x²+4y²=4
整理：5x²+8mx+4m²-4=0
韦达定理：x1+x2=-8m/5，x1*x2=4(m²-1)/5
弦长公式：AB=√(1+k²)[(xA+xB) ²-4xAxB]=√2×[(-8m/5)²-16(m²-1)/5]
AB²=32/25(-m²+5)
-m²+5是二次函数，当m=0时，有最大值5
所以AB最大值=4√10/5
2.直线kx-y-2=0交椭圆x^2+4y^2=80于两点A,B 若 AB 的中点的横坐标为2,求|AB|
解：y=kx-2代入椭圆x²+4y²=80
整理：(4k²+1)x²-16kx-64=0（1）
韦达定理：x1+x2=16k/(4k²+1)
根据题意x1+x2=4
所以16k/(4k²+1)=4
解得k=1/2
代入（1）整理：x²-4x-32=0
(x-8)(x+4)=0
x1=-4,x2=8
y1=-4,y2=2
AB=√(-4-8)²+(-4-2)²=6√5
3.椭圆ax^2+by^2=1与直线y=1-x交于AB两点,过原点与弦AB中点的直线的斜率为根号2/2 求a/b
解：将直线y=-x+1代入椭圆方程ax²+by²=1
整理：(a+b)x²-2bx+b-1=0
韦达定理：x1+x2=2b/(a+b)
y1+y2=-(x1+x2)+2=2a/(a+b)
过原点和弦AB中点的直线为y=√2/2x
AB中点坐标（b/(a+b)，a/(a+b)）
代入a/(a+b)=√2/2*b/(a+b)
a/b=√2/2

Answer 2

1
(y-m)^2+4y^2-4=0
5y^2-2my+m^2-4=0
(y2-y1)^2=(2m/5)^2-4*(m^2-4)/5=(80-16m^2)/25>=0,-√5<=m<=√5
x^2+4(x+m)^2-4=0
5x^2+8mx+4m^2-4=0
(x1-x2)^2=(-8m/5)^2-4(4m^2-4)/5=(80-16m^2)/25
|AB|^2=32(5-m^2)/25
m=0
|AB|max=32/5