Question

请教道初中几何题

如图，△ABC的高AD、BE相较于点H，AD、BE的延长线分别交外接圆于G，F
求证HD=GD，AH·HD=BH·EF

Answer 1

一)求证：HD=GD

连接辅助线BG
1）因为ABGC四点同圆，推出∠BGH=∠DCE

2）因为四边形HDCE内角和为360，推出∠DCE+∠DHE=180

3）图中∠DHE+∠DHB=180

4）从2），3）推出∠DCE=∠DHB

5）结合1），4）推出∠BGH=∠DHB

得到BG=BH,HD=GD

二）求证：AH·HD=BH·EF

连接辅助线AF
相同以上推导过程，同样得到AH=AF,HE=EF

由等腰三角形原理，对角相等原理可以得到：
∠BGH=∠DHB=∠AHF=∠AFH

以上推出两个相似三角形为：△AHF相似于△BHG

从而推出：BH/HG=AH/HF

数学演绎：BH/(HG/2)=AH/(HF/2);EF=HF/2；HD=HG/2；

从而得到：BH/HD=AH/EF

也就得到最终结果：AH·HD=BH·EF

Answer 2

⑴∵∠CBE＋∠C＝90°＝∠CAD＋∠C
∴∠CBE＝∠CAD
连结BG，则∠CAD＝∠CBG
∴∠DBH＝∠CBE＝∠CBG＝∠DBG
∵BD＝BD，∠BDH＝∠BDG＝90°
∴△DBG≌△DBH
∴HD＝DG

⑵∵△AEH∽△BDH
∴AH/BH＝HF/HD
∴AH·HD＝BH·HE
仿⑴可证明EF＝HE
∴AH·HD＝BH·EF