Question

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)<a,f(b)>b。证明存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ

Answer 1

令g(x)=f(x)-x，由题意知g(x)连续
g(a)=f(a)-a<0,g(b)=f(b)-b>0
∴g(a)g(b)<0
∴根据零点定理可以知道存在ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即 f(ξ)-ξ =0，得证。

零点定理：
设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,则存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ

Answer 2

证明：记F(x)=f(x)-x,显然它在[a,b]上连续
且F(a)=f(a)-a<0,F(b)=f(b)-b>0
由连续函数介值定理知存在ξ∈(a,b),使得F(ξ)=f(ξ)-ξ=0
即存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ，命题得证。

Answer 3

这个证明很长，翻书或者搜索
最好的办法是随便下载一本高数或者数学分析的书，直接找连续函数的性质

Answer 4

高等数学，课本上好像有证明过程，以前证过，现在忘了！不好意思！