Question

请教高一数学，请写详细些，谢谢！

设平面上向量A=（cosx，sinx）0度＜X＜360度，B=（-1/2，√3/2）
① 求证向量A+B与向量A-B垂直
② 当两个向量√3A+B与A√3B的模相等时，求角A？

Answer 1

①A+B=(cosx-1/2,sinx+√3/2), A-B=(cosx+1/2,sinx-√3/2)
(A+B)(A-B)=(cosx-1/2)(cosx+1/2)+(sinx+√3/2)(sinx-√3/2)
=cos²x-1/4+sin²x-3/4=1-1=0
所以向量A+B与向量A-B垂直
②√3A+B=(√3cosx-1/2,√3sinx+√3/2), A+√3B=(cosx+√3/2,sinx-3/2)
√3A+B的模为√[(√3cosx-1/2)²+(√3sinx+√3/2)²]=√(4+3sinx-√3cosx)
A+√3B的模√[(cosx+√3/2)²+(sinx-3/2)²]=√(4-3sinx+√3cosx)
当两个向量√3A+B与A√3B的模相等时,则4+3sinx-√3cosx=4-3sinx+√3cosx
即6sinx-2√3cosx=0
即4√3(√3/2sinx-1/2cosx)=0
即cos30°sinx-sin30°cosx=0
所以sin(x-30°)=0
所以x=30°或210°

Answer 2

向量A+B=（cosx-1/2,sinx+√3/2)
向量A-B=（cosx+1/2,sinx-√3/2)
(向量A+B)·(向量A-B)=cos^2x-1/4+sin^2x-3/4=0
所以向量A+B与向量A-B垂直

向量√3A+B=(√3cosx-1/2,√3sinx+√3/2)
向量A-√3B=(cosx+√3/2,sinx-3/2)
(√3cosx-1/2)^2+(√3sinx+√3/2)^2=(cosx+√3/2)^2+(sinx-3/2)^2
tanx=√3/3
x=30度 或210度

Answer 3

1. 证明向量之内积为0即可
(->A + ->B)(->A - ->B) = |A|^2 - |B|^2 = 0
|A| = |B| = 1
所以垂直

2.求出两向量的模关于x的函数，列出方程求cosx 或 sinx
然后求x即可（一般来讲，结果都是特殊角：30, 60, 45等）