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很有意思的问题 最早是1840年 LAHMUS在给STURM的信中提出的
定理被称为STEINER-LEHMER定理 (因为最早是STEINER用反证法获得证明的)
写两种比较简便的
1.
如果三角形ABC不等腰 不妨设AB>AC,即角B<角C,就在角B的平分线BE上取一点L,使角LCD=角EBA,于是角BDC=角BLC,知C,L,D,B共圆,而角CBD=角ABC<1/2*(角ABC+角ACB)=角BCL<1/2*(角ABC+角ACB+角BAC)=90度
同圆内 大角对应的弦比较长 所以角BCL对应的弦应大于角CBD对应的弦,这就是BL>CD 但另一方面,角平分线相等
CD=BE>BL 矛盾
证毕
2.
利用角平分线长
BE=(√[(ac)(a+b+c)(c+a-b)])/(a+c)
CD=(√[(ab)(a+b+c)(a+b-c)])/(a+b)
相等得到
c(a+b)^2(c+a-b)=b(a+c)^2(a+b-c)
(c-b)[c(a+b)^2+b(a+c)^2]+ac(a+b)^2-ab(a+c)^2=0
(c-b)[c(a+b)^2+b(a+c)^2+a(a^2+c^2)]=0
后一因式恒不等于0,于是c-b=0
c=b
证毕
请参考沈康身先生的《历史数学名题赏析》p416的STEINER定理，有好几种定理的证明
不好意思 仅仅用初一初二的知识 很抱歉 不会
这题不像是书本上的 应该是竞赛的 竞赛的用反证法很正常吧?
参考资料有关于STEINER定理的详细历史还有证明方法（有图）
定理被称为STEINER-LEHMER定理 (因为最早是STEINER用反证法获得证明的)
写两种比较简便的
1.
如果三角形ABC不等腰 不妨设AB>AC,即角B<角C,就在角B的平分线BE上取一点L,使角LCD=角EBA,于是角BDC=角BLC,知C,L,D,B共圆,而角CBD=角ABC<1/2*(角ABC+角ACB)=角BCL<1/2*(角ABC+角ACB+角BAC)=90度
同圆内 大角对应的弦比较长 所以角BCL对应的弦应大于角CBD对应的弦,这就是BL>CD 但另一方面,角平分线相等
CD=BE>BL 矛盾
证毕
2.
利用角平分线长
BE=(√[(ac)(a+b+c)(c+a-b)])/(a+c)
CD=(√[(ab)(a+b+c)(a+b-c)])/(a+b)
相等得到
c(a+b)^2(c+a-b)=b(a+c)^2(a+b-c)
(c-b)[c(a+b)^2+b(a+c)^2]+ac(a+b)^2-ab(a+c)^2=0
(c-b)[c(a+b)^2+b(a+c)^2+a(a^2+c^2)]=0
后一因式恒不等于0,于是c-b=0
c=b
证毕
请参考沈康身先生的《历史数学名题赏析》p416的STEINER定理，有好几种定理的证明
不好意思 仅仅用初一初二的知识 很抱歉 不会
这题不像是书本上的 应该是竞赛的 竞赛的用反证法很正常吧?
参考资料有关于STEINER定理的详细历史还有证明方法（有图）
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