Question

关于小学的奥数题目，请达人们指点一下，谢谢！

A,B,C,D,E,F，6足球队进行单循环比决赛，每两队之间都要赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局每对各得1分，比赛结果，各队分由高到低恰好为一个等差序列，获得第三名的得了8分，那么这次比赛中共有多少场平局？

Answer 1

楼上的修改一下吧，是6个队，呵呵。

简单的解法是：
比赛一共是15场，如果没有平局的话，每场的加分是3分，得分是45分。
如果有平局，平局的场次双方各拿1分，等于2分。每多一场平局，加分少1。
现在根据是等差数列，可以确定公差是1或者2，如果是3或者3+，最后一名将出现负分。
如果公差是1，各队得分是5,6,7,8,9,10，总分是45。
但是因为各队得分不全是3的整数倍，所以一定有平局发生，45分的情况不可能。
因此公差是2，各队得分是2,4,6,8,10,12，总分是42。
45 - 42 = 3，所以有3场平局。

复杂一点的计算：
因为6个队比赛，每个队打5场比赛，得分最高的是5战全胜得15分。
所以每个队得分不能超过15分，也不能低于0分。
现在排名第3的是8分，所以前两名有可能是9分和10分（公差是1），或者10分和12分（公差是2）。
公差是3时，排名最后的球队得分将是-1，矛盾。
其实所有队最后的总的胜平负总计还应该满足：
A 所有球队的胜场和负场是一样的；
B 所有球队的平局场总数是偶数；

当公差是1时，各队得分依次是5，6，7，8，9，10。
可以分析一下，
得分是8的这个球队只能是2胜2平1负。
得分是10的这个球队只能是3胜1平1负。
所以他们两个队的小计是5胜3平2负。
余下四个队的小计需要满足：
胜场比负场少3场；
平局是奇数场；

得分是5的球队可能是5平，也可能是1胜2平2负；
得分是6的球队可能是1胜3平1负，也可能是2胜3负；
得分是7的球队可能是1胜4平，也可能是2胜1平2负；
得分是9的球队可能是2胜3平，也可能是3胜2负。
能够满足上面两个原则的组合可能是不存在的！
所以公差不能是1。

既然公差是2，各队的得分分别是2，4，6，8，10，12。
其中得2分的球队只能是2平3负；
得8分的球队只能是2胜2平1负；
得10分的球队只能是3胜1平1负；
得12分得球队只能是4胜1负。
他们四个球队的小计是9胜5平6负。
所以余下两个球队的小计需要满足：
胜场比负场少3场；
平局是奇数场；

得分为4的球队可能是4平1负，或者1胜1平3负；
得分为6的球队可能是1胜3平1负，或者2胜3负。

可能的组合存在一种，就是
得4分的球队是1胜1平3负，得6分的球队是2胜3负。
这样积分榜就出来了 ：）

2分 － 0胜2平3负
4分 － 1胜1平3负
6分 － 2胜0平3负
8分 － 2胜2平1负
10分 － 3胜1平1负
12分 － 4胜0平1负

平局一共是3场。

这是用比较复杂但至少可以证明这种可能是存在的。：）
之前的解法，用45和42之间的差异来获得平局是3场比较简单，
但是不能证明其存在性。换句话说，有可能胜平负是列不出积分榜的，这种情况我也遇到过。
就好像说，解一个方程，不管是不是有实数解就用维达定理一样，呵呵。

Answer 2

8-2d 8-d 8 8+d 8+2d
总分=40
总共比赛15场
假设x场分出胜负，则15-x场平
3x+2(15-x)=40
x=10 15-x=5
共有5场平局

Answer 3

6各队之间共5+4+3+2+1=15场比赛，如无平局应该总分是15*3=45
由于是等差数列，第3名为8分，第一二名分别可能为10 9或12 10或14 11
分别计算出总分为45和42和39，由于8分存在，显然出现了平局，所以45分不成立，当第一是14时，最后一名为-1分，也不成立
所以总分一定是42
每出现一场平局积分少1分（3-1-1=1)
所以45-42=3 即3场平局