Question

什么是矩阵最大特征值？

Answer 1

对P的行用圆盘定理, 可以得到P的所有特征值的模<=1, 然而P*1 = 1(1是全1的列向量),
于是P有特征值1, 是为最大模特征值.
另由平稳分布的定义w = wP可知w正是P的对应于特征值1的(左)特征向量.

可证任何满足w = wP的w的各分量一定是同号的, 因为若w = wP, 则|w| = |w|P因为P>=0,

若w中有分量不同号, 于是至少有一个分量是正的, 对于这个分量w_j = |w_j| = \sum_i
|w_i| P_{ij},
然而又有w_j = \sum_i w_i P_{ij}, 因为P>=0, 于是逼得所有w分量都>=0.

下面是唯一性: 若有w1 = w1*P, 及w2 = w2*P. 如果w1和w2不共线, 必存在w3 = a*w1 +
b*w2使得w3分量不同号, 而另一方面又有
w3 = w3 * P, 矛盾. 于是存在唯一w = wP且|w|_1 = 1, 即平稳分布.

Answer 2

矩阵的特征多项式（λE-A）可算出矩阵的所有特征值，最大的一个为矩阵的最大特征值，也叫矩阵的谱半径

追问

你的概念好像不太正确吧，矩阵的谱半径是按模最大特征值。

追答

有理！