Question

f(x)在(－∞，＋∞）上连续且是偶函数，F（x)=∫[0,x}(x-2t)f(t)dt 试证：F（x)为偶函数，求过程和方法！

Answer 1

F(x)=∫[0,x] (x-2t)f(t) dt，
所以
F(-x)=∫[0,-x] (-x-2t)f(t) dt，
对积分做换元s=-t，得
F(-x)=∫[0,-x] (-x-2t)f(t) dt
=∫[0,x] (-x+2s)f(-s) -ds
=∫[0,x] (x-2s)f(s) ds
=∫[0,x] (x-2t)f(t) dt（积分变量可随意更换）
=F(x)，
所以F(x)也是偶函数