Question

如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB。

如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB。已知AB=4，AC=6，BD=8，求CD的长。
详解，谢谢。

Answer 1

在面β上作AE⊥AB且AE=BD,连接CE,ED

∵AE⊥AB,BD⊥AB,AE=BD

∴四边形ABDE为矩形

∴ED‖AB,ED=AB=4

∵AB⊥CA,AB⊥AE

∴AB垂直于△CEA所在的面

即ED垂直于△CEA所在的面

∴ED⊥EC

即△CED为Rt三角形,∠CED=90°

在△CEA中,CE^2=CA^2+AE^2-2CA*AEcos60°(余弦定理)

解得CE^2=52

CD^2=CE^2+ED^2(勾股定理)

解得CD=2√17

Answer 2

已知AB=4，AC=6，BD=8，CD的长是2√17。

∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴CA•AB=AB•BD=0，

∴CD2=(CA +AB+BD)2=CA    

2+AB

2+BD    

2+2CA•AB+2CA•BD+2AB•BD    

=62+42+82+2×6×8×cos（180°-60°）

=36+16+64-48

=68。

∴|CD |=2√17。   

点评：

本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系、二面角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。

Answer 3

（BD^2+AB^2+BC^2-2*BD*BC*1/2)^1/2=68^(1/2)