Question

求助一道高中立体几何题~数学高手快来 急！在线等答案！

题目请见图~第二，三问需用空间向量做谢谢了！回答的好的加分采纳

Answer 1

（1）因为PD垂直平面ABCD,所以PD垂直AC,又正方形ABCD，故BD垂直AC，又BD交PD于点D,所以AC垂直平面PBD，又AC属于平面PAC,所以PAC⊥PBD
2）设AC与BD相交与O点，正方形ABCD边长为a。
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AC
又∵AC⊥BD
∴AC⊥平面PBD
连接PO则AC⊥PO
∴<CPO为PC与平面PBD所成的角
sin<CPO=OC/PC=√3/2
∴<CPO=30°

3）向量AD*向量PC=0
所以 AD⊥PC
设E（x1，y1，z1）
直线PB的方程为 x=y=a-z
所以 x1=y1=a-z1
所以 E（x1，x1，a-x1）
所以向量AE=（x1-a，x1，a-x1）
所以向量AE*向量PC=0+x1a+（a-x1）（-a)=2ax1-a²=0
所以 x1=a/2
所以 E（a/2，a/2，a/2）
所以存在 且 E为中点

Answer 2

2）设AD=a
以D点为空间原点，DP为Z轴。DA为X轴，DC为Y轴建立空间坐标系
所以 P（0，0，a），A（a，0，0） ，B（a，a，0），C（0，a，0）
所以向量 PD=（0，0，-a） 向量 PB=（a，a，-a） 向量PC=（0，a，-a）
设面DBP的法向量 n=(x，y，z）
所以 向量 n* 向量PB=ax+ay-az=0 得 x+y-z=0
向量 n*向量 PD=-az=0 得 z=0
所以 x+y=0 z=0
所以 面DBP的法向量n=（x，-x，0）
所以 cos＜向量PC，法向量n＞=（-ax）/√2x²√2a²=-x/2|x|
所以线面的夹角为 90°-60°=30°
3）向量AD*向量PC=0
所以 AD⊥PC
设E（x1，y1，z1）
直线PB的方程为 x=y=a-z
所以 x1=y1=a-z1
所以 E（x1，x1，a-x1）
所以向量AE=（x1-a，x1，a-x1）
所以向量AE*向量PC=0+x1a+（a-x1）（-a)=2ax1-a²=0
所以 x1=a/2
所以 E（a/2，a/2，a/2）
所以存在 且 E为中点

Answer 3

一楼的第一问没问题啦···第二问：因为PD垂直底面，所以以D点为坐标原点，DA为X轴，DC为Y轴，DP为Z轴建立空间直角坐标系，所以D（0，0，0），因为底面为正方形，且PD=AD，所以，设PD=1，所以B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，1，0），设平面PBD的法向量为q（x，y，z），所以向量q点积PD=0，向量q点积DB=0，联立求出关系式：X+Y=0,Z=0，因为PD垂直底面，所以PC垂直DB，PC垂直DC，所以PC与面PBD所成的角可看成面PBD与面PDC所成的角，所以同理求出面PDC法向量的关系式为（设面PDC的法向量为k（X1,Y1,Z1））：Y1=0,Z1=0，两个法向量因为是法向量，所以可令X1=1，X=1,Y=-1,所以两个法向量点积=1，所以求出两法向量的夹角的余弦值为根号2/2，所以两平面的夹角45度····不知道对不对捏，第三问和第二问差不多，若存在则因为PC垂直ADE,所以可以用上面的方法证明面PDC垂直ADE，用这种方法肯定正确的，但是我不确定第二问我有没做对···不好意思啦 楼主 看了2楼的我发现我好像真的算错了···好像计算错了···不好意思啦 楼主···

Answer 4

第二问用几何法简单点，第三问用向量法简单点哈！
2）设AC与BD相交与O点，正方形ABCD边长为a。
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AC
又∵AC⊥BD
∴AC⊥平面PBD
连接PO则AC⊥PO
∴<CPO为PC与平面PBD所成的角
sin<CPO=OC/PC=√3/2
∴<CPO=30°

Answer 5

（1）因为PD垂直平面ABCD,所以PD垂直AC,又正方形ABCD，故BD垂直AC，又BD交PD于点D,所以AC垂直平面PBD，又AC属于平面PAC,所以的
（2）设pd与ac的交点是o，连接po，则co垂直平面pbd，则sinx=co/pc
（3）存在 设pc中点是f，连接df，fe，根据平行四边形准则，df平行ae，则pc垂直ae，又ad垂直pc，故pc垂直平面ade