Question

高中数学 已知a ，b ，c 为正数，求证 a^2a × b^2b × c^2c ≥a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b） ？

Answer 1

先证a^ab^b≥a^bb^a,即（a/b)^a≥(a/b)^b,若a≥b,则a/b≥1,（a/b)^a≥(a/b)^b;若a<b,则a/b<1,（a/b)^a>(a/b)^b,故总有a^ab^b≥a^bb^a
同理a^ac^c≥a^cc^a
b^bc^c≥b^cc^b
故a^2a × b^2b × c^2c ≥a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）

Answer 2

[ a^2a × b^2b × c^2c ]/[a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）]
=a^[a-b+a-c]×b^[b-c-a+b]×c^[c-b+c-a]
=a^(a-b)×b^[-(a-b)]×a^(a-c)×c^[-(a-c)]×b^(b-c)×c[-(b-c)]
=(a/b)^(a-b)×(a/c)^(a-c)×(b/c)^(b-c)

a>b a/b>1 a-b>0 (a/b)^(a-b)>1
a<b a/b<1 a-b<0 (a/b)^(a-b)>1
a=b (a/b)^(a-b)=1

即a ，b 为正数，都有(a/b)^(a-b)>=1
同理 (a/c)^(a-c)>=1 (b/c)^(b-c)>=1
[ a^2a × b^2b × c^2c ]/[a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）]>=1

a^2a × b^2b × c^2c ≥a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）

Answer 3

不妨设a>=b>=c；
将不等式右边除过来，得(a/b)^(a-b)*(a/c)^(a-c)*(b/c)^(b-c)>=1；
底数>=1，指数>=0，幂>=1，故三者相乘>=1，证毕。