Question

求助一道高一(必修4）数学题

如右图是一条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是4km，今须铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆修建费用为2万元/km，水下电缆为4万元/km，假定河两岸是直线(没有弯曲)，问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最少？

请大家写出详细过程，谢谢。。

Answer 1

首先三角形ACB是直角三角形，AB=4km，AC=1km，则BC=根号(AB^2-AC^2)=根号15 km。
设在BC上某一点D作为过河点，设CD=X，
则BD= BC-CD=根号15-X，
AD=根号(AC^2+CD^2)=根号(1+X^2)
因此总费用Y为：Y=4*AD+2*BD=4*根号(1+X^2)+2*(根号15-X) (0<=X<=根号15)
函数Y的导函数是： Y'=4x/(1+x^2)^(1/2)-2
因此
当Y'=0时，即4x/(1+x^2)^(1/2)-2=0，即4x=2(1+x^2)^(1/2)，即 16x^2=2(1+x^2) 即x=根号(1/7)
时，Y取得最小值。
即在距离C点 根号(1/7)公里（约等于0.38公里）处假设过桥点，总施工费用最少。

Answer 2

已知：AB=4 km AC=1 km
设总施工费用为y万元， AD为x km
BC=二次根下(AB*AB-AC*AC)=二次根下(15)
CD=二次根下(x*x-AC*AC)=二次根下(x*x-1)
y=4 * x+2 * { 二次根下( 15 ) - 二次根下( x * x - 1 ) }
求其极值 x=1.281 km y=11.268万元 达到极小值
CD=二次根下(x*x-1)=0.800 km
BD=BC-CD = 二次根下( 15 ) - 二次根下( x * x - 1 )=3.0727 km
应在离城市B3.0727 km处的D地点架设电缆线AD和BD方可使总施工费用达到最少）。

Answer 3

图呢？首先你建立一个坐标系，并把A点固定于原点，然后B的坐标的AB的直线距离求出，然后设一个沿着河岸的坐标中转的坐标，最后建立费用函数，求函数的最小值就得出施工方案了