Question

函数F(X)=AX-（B/X）-2INX,若曲线Y=F(X)在X=1处 的切线是X+4Y-2=0,（1.）求F(X)的解析式,单调区间，（2）

Answer 1

f(x)=ax-b/x-2lnx，则：
f'(x)=a+b/x^2-2/x，
在x=1处的切线：x+4y-2=0，斜率为：k=-1/4，
所以a+b-2=-1/4，
又x=1时，y=a-b，所以
切线方程为：y-(a-b)=-1/4*(x-1)
x+4y-4a+4b-1=0，
所以-4a+4b-1=-2，
联立方程组，解得：
a=1，b=3/4。
所以f(x)=x-3/(4x)-2lnx，定义域为： (0，+无穷)，
f'(x)=1+3/(4x^2)-2/x=(4x^2-8x+3)/(4x^2)=(2x-1)(2x-3)/(4x^2)，
令f'(x)=0，得：x=1/2， x=3/2。
当0<x<1/2时， f'(x)>0；
当1/2<x<3/2时， f'(x)<0；
当x>3/2时， f'(x)>0。
所以函数f(x)在区间(0，1/2)，及 (3/2，+无穷)单调递增，在区间(1/2，3/2)单调递减。

追问

，（2）若在【1/4,2】上至少存在一个X0，使得F(X)小于T平方-2T+4IN2-23/4成立，求实数T 的取值范围