Question

高一数学题。求过程和答案。

1.已知｛an｝的前n项和Sn=5的n次方（5的n次方是整体）减n减1。求an=？
2.等比数列｛an｝中，a4-a2=24,a2+a3=6,a9=125,求n=?
3.等比数列S7=48,S14=60,求S21=?

Answer 1

1. a1=3;
n>=2,有an=S(n)-S(n-1)=5^n-n-1-5^(n-1)+n-1+1=4*5^(n-1)-1
综上，有an=S(n)-S(n-1).
遇到已知Sn求an的，可用an=Sn-S(n-1)，注意a1要单独计算。
2.注意对于等比数列，只有两个参数是独立的——公比和其中任意一项，也就是说只要知道公比和数列中的任何一项，其它所有的项都可以求，所以可在三个方程中选定公比q和a3为待求量，其它的都用这两个表示。有
a3*q-a3/q=24, a3/q+a3=6, a3*q^6=125
若a3为0，则所有项均为0，与a9=125矛盾，故a3不为0，故上述前两式相除
(q-1/q)/(1/q+1)=4,得q=5,a3=5
结果好像和题目有点差别，我算错了？
3.S7、S14-S7、S21-S14是公比为q^7的等比数列
q^7=(S14-S7)/S7=1/4
所以(S21-S14)/(S14-S7)=1/4=(S21-60)/(60-48)
S21=63

追问

q^7=(S14-S7)/S7=1/4（1/4怎么来的？）

Answer 2

给你公式

Answer 3

（1）an=Sn-S(n-1)=(5^n-n-1)-[5^(n-1)-(n-1)-1]=4*5^(n-1)+1
(2)设公比为q,则：a4=a3q，a2=a3/q，代入已知条件中得到 a3=5，q=5，a1=1/5
an=1/5*5^(n-1)=125 n=5
(3)设首项是a1，公比是q，因为48/7≠60/14，所以q≠1
S7=a1(1-q^7)/(1-q)=48
S14=a1(1-q^14)/(1-q)=60
q^7=1/4,
S21=a1(1-q^21)/(1-q)
S21/S14=(1-q^21)/(1-q^14)=63/60