一道高二数学题,急求解析
设f(x)、g(x)分别是定义域R上的奇函数和偶函数,当x<0时u,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,则f(x)g(x)<0的解集为...
设f(x)、g(x)分别是定义域R上的奇函数和偶函数,当x<0时u,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,则f(x)g(x)<0的解集为
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解:
由题设可知,对任意实数x∈R,恒有:
f(-x)=-f(x),且g(-x)=g(x).同时,f(0)=0.
两个等式相乘,可得:f(-x)g(-x)=-f(x)g(x).
构造函数h(x)=f(x)g(x). (x∈R).
易知,恒有h(-x)=-h(x),且h(0)=0.
∴函数h(x)=f(x)g(x)为奇函数。求导可知:
h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
由题设可知,当x<0时,有h′(x) >0.
∴在(-∞,0)上,函数h(x)递增。
∴由奇函数单调性可知,在(0,+ ∞)上,奇函数h(x)递增。
∴当a<0<b时,恒有h(a) <0<h(b).
∴不等式f(x)g(x) <0的解集为R-.
由题设可知,对任意实数x∈R,恒有:
f(-x)=-f(x),且g(-x)=g(x).同时,f(0)=0.
两个等式相乘,可得:f(-x)g(-x)=-f(x)g(x).
构造函数h(x)=f(x)g(x). (x∈R).
易知,恒有h(-x)=-h(x),且h(0)=0.
∴函数h(x)=f(x)g(x)为奇函数。求导可知:
h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
由题设可知,当x<0时,有h′(x) >0.
∴在(-∞,0)上,函数h(x)递增。
∴由奇函数单调性可知,在(0,+ ∞)上,奇函数h(x)递增。
∴当a<0<b时,恒有h(a) <0<h(b).
∴不等式f(x)g(x) <0的解集为R-.
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