Question

一道初三数学几何证明题

已知：梯形ABCD中，AD‖BC，AB＝DC＝AD，将梯形折叠使点C与点A重合，则折痕DE恰好过BC边中点E，如图①，点F为折痕DE上的任意一点（不与点D、E重合），过点F做DE的垂线，交BD于点G
⑴是探究GF、FE与与GA之间的数量关系，并证明
⑵将△DFG绕点D顺时针旋转，当G、F、E在一条直线上时，如图②，试探究线段GF、FE与GA之间的数量关系是否发生变，请说明理由

Answer 1

（1）GF,EF,GA之间的关系是：AG的平方＝EF的平方+GF的平方。
证明：连AC. 由题意知：AE=EC=1/2BC, 所以AC垂直于AB .
因为AD//BC 所以 角DAC=角ACB
因为AD=DC, 所以 角DAC=角DCA 所以 角ACB=角DCA
又因为EC=EA， 所以 角ACB=角EAC 所以 角DCA=角EAC 所以 DC//AE
因为AD//DC 所以四边形AECD是平行四边形。
又AD=DC 所以平行四边形AECD又是菱形。 所以 AC垂直于DE.
因为AF垂直于DE, 所以点F在AC上且是DE的中点。DE//AB.
所以 四边形ABEC也是平行四边形，其对角线互相平分，
所以 点G是等边三角形AED的重心，连GE, 则GE=AG.
在直角三角形GEF中，由勾股定理右得： GE的平方＝GF的平方+EF的平方
所以 GA 的平方＝GF的平方+EF的平方。
（2）

追问

第②问？急急急！！！

追答

(2)GF,FE,之间的关系是：GA+GF=FE.
简要说明如下：图（2）中的三角形EDF AEG分别与图（1）中的三角形DAF ABG全等
所以 图（2）中的FE=图（1）中的AF(即等边三角形一边上的中线长）
图（2）中的GA=图（1）中的GA(即中线长的三分之二）
图（2）中的GF=图（1）中的GF（即中线长的三分之一）
所以有：GA+GF=FE.