Question

数学集合题

1.设T是由60100的所有正因数组成的集合。S是T的一个子集。其中没有一个数是另一个数的倍数，求s的最大值..（这里|s|表示s的元素个数，后同）

Answer 1

是60^100吧
解：
60^100=2^200*3^100*5^100
T的元素就是所有的t(a,b,c)=2^a*3^b*5^c，(a=0,1,...,200；b=0,1,...,100；c=0,1,...,100；)
首先容易知道，如果t(a1,b1,c1)≠t(a2,b2,c2)，且a1+b1+c1=a2+b2+c2，则t(a1,b1,c1)和t(a2,b2,c2)肯定没有一个是另一个的倍数，所以可以同时存在。
然后可以判断，如果S中已经取了所有的满足a+b+c=M的t(a,b,c)，则只要再增加任何一个数，必然会是某个数的倍数或者因数。
从而，要想使S元素个数最大，必须取完而且只取满足a+b+c=M的t(a,b,c)，下一步就是最后判断哪个M会使得S元素个数最多。
也就是求a+b+c=M在M取何值时满足a≤200,b≤100,c≤100的非负整数解个数最多。
当0≤M≤100时，解个数为1+2+...+M+(M+1)
当100＜M≤200时，解个数为1+2+...+100+101+100+99+...+(200-M+1)
当M＞200时，容易知道解个数会逐渐减少。事实上可以证明M1+M2=400时两个对应的解个数相等。
所以当M=200时解个数最多，为1+2+...+100+101+100+99+...+2+1=10201
答案就是10201。