Question

已知函数f(x)=ln(e^x +a)（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g(x)=kf(x)+sinx是区间｛-1，1｝上的减函数

（1）求实数k取值集合A
（2）若g(x）=<t^2+kt+1在x属于｛-1，1｝，k属于A上恒成立，求实数t的取值范围
（3）讨论关于x的方程lnx=f(x）(x^2-2ex+m)的根的个数

Answer 1

（1）f(x)为奇函数，则g(-x)=kf(-x)+sin(-x)=-kf(x)-sin(x)=-g(x) x在（-1,1）
因此，g(x)是奇函数。因此g(x)必过原点，所以g(0)=kf(0)+0=0,因此f(0)=0
则f(0)=ln(1+a)=0,则a=0，因此f(x)=x,g(x)=kx+sinx
因为g(x)为减函数，因此g(-1)>g(1)，-k-sin1>k+sin1，因此k<-sin1
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（2）x属于｛-1，1｝，k属于A，则max(g(x))=g(-1)=-k-sin1
则t^2+kt+1>=g(-1)=-k-sin1即可
则(t+1)k>=-t^2-1-sin1
a.当t=-1时,-t^2-1-sin1=-1-sin1<=0恒成立。
b.当t<-1时，k<=-(t^2+1+sin1)/(t+1)，因为k<-sin1，所以有
-(t^2+1+sin1)/(t+1)>-sin1，即t^2+1+sin1>tsin1+sin1
t^2-tsin1+1>0，令h(t)=t^2-tsin1+1，则当t<-1时，h(t)>0恒成立。
c.当t>-1时。k>=-(t^2+1+sin1)/(t+1)此时无论t取何值均不可能使g(x)<=t^2+kt+1恒成立。
因此，t<=-1
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(3)lnx=f(x）(x^2-2ex+m)中2ex是2*e*x还是2*e^x？

追问

是2*e*x

Answer 2

解:(1)因f(x)=ln(e^x +a)（a为常数）是实数集R上的奇函数,则f(0)=0,得a=0,则f(x)=x
g(x)=kf(x)+sinx,即g(x)=kx+sinx是区间｛-1，1｝上的减函数,则g'(x)=k+cosx<0在区间[-1，1],那么k<-1 A={k|k<-1}(k为实数)
(2)若g(x）=<t^2+kt+1在x属于｛-1，1｝，k属于A上恒成立,则g(x)最大值-k-sin1<=t^2+kt+1成立,讨论t=-1成立,t<-1,解不等式组(t^2+1+sin1)/(t+1)<=1,
当t>-1,无解
(3)根的个数问题,转化为两个函数图象交点问题,请你检查一下题,方法我告诉你