Question

如图，已知抛物线y=-1/2x平方+x+4交x轴的正半轴与点A，交y轴于点B

（1)求A.B两点的坐标，并求直线AB的解析式、
（2）设P（x，y）(x>0)是直线y=x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF于直线AB有公共点，求x的取值范围
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值。
要有过程
ps：麻烦详细一点 第三步就行 （1）（2）不用了

Answer 1

已知抛物线y=-1/2x²+x+4 交x轴的正半轴与点A，交y轴于点B
a=-1/2＜0，则抛物线开口朝下
Δ=b²-4ac=1+4×4/2=9＞0 抛物线图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
即A点（2，0）和C点（-4，0）
因交y轴于点B
所以y=-1/2x²+x+4=4，即B点（0,4）
设直线为y=kx+b，将A(2,0),B(0,4)代入直线方程得
则有0=2k+b和b=4解得k=-2
直线AB的解析式y=-2x+4
（2）
因正方形PEQF于直线AB有公共点,Q点的坐标为（x/2,y/2)
必然Q点的最大坐标在y=-2x+4和直线y=x的交点上
则有y=-2x+4=x，y=x=4/3
Q点的最大坐标为（4/3，4/3）
P点的最大坐标（8/3,8/3）
P点的最小坐标（4/3,4/3）
Q点的最小坐标为（2/3，2/3）
所以x的取值范围为2/3＜x＜8/3
3、
过Q点作相交于直线y=-2x+4的直角△交直线y=-2x+4于D点和C点
Q点坐标（x/2,y/2）,即（x/2,x/2）
则D点(x/2,-x+4)和C点(-x+4,x/2)
面积S=QD×CG/2
= |(-x+4-x/2)||(-x+4-x/2)|/2
=(-3x/2+4)²/2
令x=2/3,则正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S达到最大
S=(-3x/2+4)²/2=9/2=4.5

Answer 2

（3）当PQ中点横坐标3x/4>=2,即4>=x>=8/3时，
S=2（2-x/2)^2;
当2<=x<=8/3时S=(x/2)^2-2(x-2)^2=(-7/4)x^2+8x-8
=(-7/4)(x-16/7)^2+8/7.
当x=16/7时S取最大值8/7.

Answer 3

y=-x+4,2<x<4,直角等腰三角形，x>3时Q(x/2,x/2)直角边=4-x/2-x/2,S=(4-x)平方/2，x<3时，直角边2x-4，最后x=3时最大值S=1/2

Answer 4

1.A(4,0),B(0,4)
2.
抛物线交y=x于M(2√2，2√2)
P(x,y),Q(x/2,y/2)则E(x,y/2),F(x/2,y)
Q在抛物线内且P在抛物线外，0＜x/2≤2√2 且x≥2√2
2√2≤x≤4√2。
3.
只有当Q在△OAB内才有公共部分，
y=x与AB直线y=-x+4交点为N(2,2)
即0＜x/2≤2，0＜x≤4，
(1)当Q在△OAB内，E、F在△OAB外时：
AB交QF、QE于C(x/2,-x/2+4)、D(4-x/2,x/2)
公共部分即RT△QCD，
其面积为S=QC*QD/2=|-x/2+4-x/2|*|4-x/2-x/2|/2
S=|4-x|*|4-x|/2=(1/2)(4-x)^2 ；

(2)当Q、E、F在△OAB内，P在△OAB外时：
AB交PF、PE于C(4-x,x)、D(x,-x+4)
公共部分面积即正方形PEQF面积-RT△PCD面积
讨论x的范围……

(3)当Q、E、F、P在△OAB内时：
公共部分即正方形PEQF面积，
其面积为S=QE^2=|x-x/2|^2=(x-x/2)^2
讨论x的范围……