Question

已知x,y为实数，且x^2+XY+Y^2-2=0,求x^2-xy+y^2的最大值和最小值

韦达定理+△

Answer 1

设x^2-xy+y^2=k,联立x^2+xy+y^2=2解得:
x^2+y^2=(k+2)/2,2xy=2-k
又x^2+y^2±2xy=(x±y)^2≥0
所以(k+2)/2±(2-k)≥0
解得2/3≤k≤6
所以x^2-xy+y^2最大值为6,最小值为2/3

Answer 2

x^2+xy+y^2-2=0,设x^2-xy+y^2＝b

x^2+y^2=(2+b)/2
2xy=2-b
x^2+y^2>=2xy
所以(2+b)/2>=2-b
b>=2/3
最小值为2/3
x^2+y^2>=－2xy
(2+b)/2>=－2＋b
最大值为6

Answer 3

x^2+XY+Y^2=2》XY+2XY=3XY
所以XY《2/3

x^2-xy+y^2=x^2+XY+Y^2-2XY=2-2XY》2-2*2/3=2/3

Answer 4

x^2+XY+Y^2=2》XY+2XY=3XY
所以XY《2/3

x^2-xy+y^2=x^2+XY+Y^2-2XY=2-2XY》2-2*2/3=2/3