Question

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE= .
⑴求EM的长；⑵求sin∠EOB的值.

Answer 1

DC为⊙O的直径，∴∠DEC=90°，
∵OA=OB=4，M为OB的中点，
∴AM=6，BM=2.设EM=x，则CM=7－x，
连接AC,EB,则△AMC∽△EMB,得AM•MB=EM•MC得，6•2=x•（7－x
解得x1=3，x2=4.但EM＞MC，∴EM=4.
⑵由⑴知，EO=EM，作EF⊥OB于F，则OF=MF= OB=1在Rt△EOF中，EF= ∴sin∠EOB= .

Answer 2

(1)连接AC和BE，证明△AMC和△EMB相似。由对顶角可知∠AMC=∠EMB ①，又 圆周角∠MAC 和 圆周角∠MEB 均对着圆弧BC，所以∠MAC=∠EMB ②，由①和②就能得出△AMC∽△EMB。则有比例式 AM / EM = MC / BM，所以AM×MB=EM×MC。
(2)CD是圆O的直径，所以∠CED=90°，在Rt△CED中由勾股定理求得CE=7，即EM+MC=7③，又由（1）知EM×MC=AM×MB=(4+2)×2=12④，联立③④得EM=4，MC=3 (EM＞MC)。在△OME中由余弦定理可知cos∠EOM=(OM^2+OE^2-EM^2)/(2×OM×OE)=1/4，在△EOB中同样由余弦定理得EB^2=OE^2+OB^2-2×OE×OB×cos∠EOM=24，所以EB=2√6
(3)(cos∠EOB)^2 + (sin∠EOB)^2 = 1，(cos∠EOB)^2=1/16，所以sin∠EOB=√(15/16)=(√15)/4（三角形中∠EOB<180°，所以sin∠EOB>0）
P.S.：余弦定理应该已经学了吧~如果还没学的话求cos∠EOM时可以在△EOM中作边OM的垂线求，△EOM是等腰三角形很好求的。