Question

如果整系数二次方程ax^2+bx+c=0存在有理根，那么a、b、c至少有一个是偶数。

Answer 1

假设a、b、c全为奇数
△=√(b2-4ac)>=0有：
x=[-b+-+√(b2-4ac)]/2a
存在有理根即：√(b2-4ac）为有理数n
b2-4ac=n2
(b-n)(b+n)=4ac
若n为偶数，(b-n)(b+n)=奇数×奇数=奇数≠4ac
所以n只能为奇数，b-n为偶数b+n为偶数
(b-n)(b+n)=偶数×偶数=2a×2c (a<=c)
b-n=2a,b+n=2c
解得：b=a+c
此时b=奇数＋奇数=偶数 与原假设矛盾
原假设不成立 即如果整系数二次方程ax^2+bx+c=0存在有理根，那么a、b、c至少有一个是偶数得证明。