Question

一道椭圆题

已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在X轴上，F1、F2分别为其左右焦点，P是椭圆上任意一点，且向量F1P点乘向量F2P的最大值为1，最小值为2.
1求椭圆C的方程2设A为椭圆C的右顶点，直线L是与椭圆交与M、N两点的任意一条直线，若AM垂直AN，证明直线L过定点

Answer 1

1.x^2/a^2+y^2/b^2=1
F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0)
F1P*F2P=(x0+c,y0)(x0-c,y0)
=x0^2+y0^2-c^2
=x0^2+b^2(1-x0^2/a^2)-c^2
=(c^2/a^2)x0^2+b^2-c^2
当x0^2=0,b^2-c^2=-2(题目打错了)
当x0^2=a^2,b^2=1,
c^2=3,a^2=4
x^2/4+y^2=1

2.椭圆方程与y=kx+m联立
得到(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0
x1+x2=-8km/(1+4k^2),x1x2=(4m^2-4)/(1+4k^2)
A(2,0),M(x1,y1),N(x2,y2)
AM*AN=(x1-2,y1)(x2-2,y2)
=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0
y1=kx1+m,y2=kx2+m
代入整理得
(k^2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m^2+4=0
代入x1+x2,x1x2
得5m^2+16km+12k^2=0
(5m+6k)(m+2k)=0
m=-2k,y=kx+m=k(x-2) 舍,
m=-6k/5,y=kx+m=k(x-6/5)
直线L过定点(6/5,0)