Question

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如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如4=2^2-0^2, 12=4^2-2^2, 20=46^2-4^2,因此4,12,20这三个数都为神秘数。

（1）28和2012这两个是神秘数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k，2k+2（k为非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4倍数吗？为什么？

Answer 1

1）因为28=8^2-6^2,2012=504^2-502^2
所以28和2012这两个是神秘数

2）因为（2k+2）^2-(2k)^2
=4k^2+8k+4-4k^2
=8k+4
=4(k+1)
所以这两个连续偶数构造的神秘数是4倍数

Answer 2

(1)x^2-(x-2)^2=28,4x-4=28,x=8，说明28是8与6的平方差，是神秘数
y^2-(y-2)^2=2012，4y-4=2012,y=504，说明2012是504与504的平方差，是神秘数
（2）设(2k+2)^2-（2k）^2=X，则(k+1)^2-k^2=x/4，X/4是正整数，所以X是4的倍数