Question

求解初二数学四边形证明题

第一题：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AE平分∠BAC交BC于E，交于BO于F。求证：EC=2FO
第二题：
（1）如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接BE，过A作AG⊥EB，垂足为G，AG交OB于F，求证：OE=OF
（2）对上述命题，若E在AC的延长线上，如图②，AG⊥EB于G，AG的延长线与OB的延长线交于点F，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由

P.S 如有作辅助线的，可以画图再做，最好能够按照初二数学的证明题格式来写
第二题的图①中是BE和OC交于点E，不好意思图上没标。。。

Answer 1

1.解：延长AE到G，作GC⊥AC。
∵AE平分∠BAC。∴∠BAE=∠EAC，又∵∠ABE=∠AGC=90°
∴△AGC∽△ABE。（注意这里指的是相似不是全等）
∴∠AGC=∠AEB=∠CEG。
∴ EC=CG。
∵ FO‖CG， O是AC的中点。
∴ FO=（1/2)CG =(1/2)EC.
∴ EC=2FO.
2.(1)因为OB=OA ∠OEB+∠OFG=∠OFA+∠OFG=∠OFA+∠OAF=180°
所以∠OEB=∠OFA
又因为∠AOF=∠BOE=90°
所以根据角边角定理
推出三角形AOF≌三角形BOE
所以推出OE=OF
(2)因为∠CBE+∠ABG=∠ABG+∠BAF=90°
所以∠CBE=∠BAF
又因为∠BCE=∠ABF=135°
BC=AB
所以三角形BCE≌三角形ABF
所以CE=BF
又因为OC=OB
所以OC+CE=OB+BF
即OE=OF
得证

Answer 2

1.解：延长AE到G，作GC⊥AC。

∵AE平分∠BAC。

∴△AGC∽△ABE。

∴∠AGC=∠AEB=∠CEG。

∴ EC=CG。

∵ FO‖CG， O是AC的中点。

∴ FO=（1/2)CG =(1/2)EC.

∴ EC=2FO.
2.(1)因为OB=OA ∠OEB+∠OFM=∠OFA+OFM=∠OFA+∠OAF=180度
所以∠OEB=∠OFA
又因为∠AOF=∠BOE=90度
所以根据角边角定理
推出三角形AOF≌三角形BOE
所以推出OE=OF
(2)因为∠CBE+∠ABM=∠ABM+BAF=90度
所以∠CBE=BAF
又因为∠BCE=∠ABF=135度
BC=AB
所以三角形BCE≌三角形ABF
所以CE=BF
又因为OC=OB
所以OC+CE=OB+BF
即OE=OF
得证

追问

这个 。。。是从别的地方复制来的吧。。。
我都搞不懂第一题中△ABE和△AGC怎么全等的。。。
还有第二题的M这个字母是哪来的啊？！

追答

解：延长AE到G，作GC⊥AC。

∵AE平分∠BAC。

∴△AGC∽△ABE。（相似）

∴∠AGC=∠AEB=∠CEG。

∴ EC=CG。

∵ FO∥CG， O是AC的中点。

∴ FO=（1/2)CG =(1/2)EC.

∴ EC=2FO.

Answer 3

1.因为角BAE等于角EAC，又都是直角，根据角角定理，所以AGC与ABE相似不是全等。