Question

如图,点B、A分别在x,y轴的正半轴上,AB=m且AP:PB=2:1,点B在x轴的正半轴上移动,线段AB的长度保持不变。

（1） 求三角形POB的面积的最大值
（2） 当三角形POB的面积最大时，三角形AOB为何种三角形？

Answer 1

设OB的长度为x，则OA=√（m²-x²）。作△POB中OB边上的高PD，由AP：PB=2：1 可 算 出BP：BA=1：3，那么PD =(1/3)OA=(1/3)√(m²-x²），△POB的面积S=（1/2）x·（1/3)√(m²-x²）=（1/6）x√（m²-x²）=（1/6）√[x²(m²-x²)]。欲求S的最大值必须求x² (m²-x²)的最大值。因为x²+（m²-x²）=m²，是常数，所以当x²=m²-x²时，即当x²=m²/2时，面积S获最大值。 这时m²-x²=m²/2，△POB的面积S=（1/6）√（m²/2·m²/2）=m²/12。
由上可见，当△POB的面积最大时，△AOB中有OA²=OB²，即OA=OB，△AOB是等腰直角三角形。