Question

一道高二数学题（请进！请详细说明!谢谢！）

用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为am^2，为使所用材料最省，则
矩形的底(=2R)、宽应该多少?
用导数做，生活中的优化问题。

Answer 1

设矩形的底是2R，则上半圆的半径为R，周长为πR，面积为(1/4)πR^2，设矩形的宽为d，则有
总面积为S=(1/4)πR^2+2Rd=a，所以d=a/(2R)-(1/8)πR，0<R<2√(a/π)
总用料C=πR+2R+2d=(3π/4+2)R+a/R，
利用均值不等式a+b>=2√(ab)，C>=2√((3π/4+2)a)，等号成立当且仅当(3π/4+2)R=a/R，
即R=√(a/(3π/4+2))，检查一下此时的R是否满足0<R<2√(a/π)，发现是成立的 所以
当R=√(a/(3π/4+2))时 用料最省

Answer 2

根据条件
1.设上半圆半径为r,则矩形底宽为2r
2.设矩形高度为b
根据条件面积为a得：
2*r*b+1/2*pi*r^2=a
得2b=a/r-1/2*pi*r

设图形周长为c
c=pi*r+2*r+2*b
将2b=a/r-1/2*pi*r代入
得
c=(1/2*pi+2)*r+a/r
当且仅当
(1/2*pi+2)*r=a/r时
c有最小值
得2r=2*根号((2*a)/(pi+4))