Question

已知2cosβ=cos(2α+β),那么tan(α+β)*tanα的值为

*是乘号 麻烦了

Answer 1

2cosβ=cos(α+β)*cosα-sin(α+β)sinβ 等式两边同除以cos(α+β)*cosα , 然后移项整理得
tan(α+β)*tanα = 1 - 2cosβ/[cos(α+β)*cosα] 然后通分 分子展开有
tan(α+β)*tanα = [ cosβ*(cosα^2 - 2) - cosα*sinα*sinβ ] / [ cos(α+β)*cosα ] 继续化简
tan(α+β)*tanα = [ cosβ*(-sinα^2 - 1) - cosα*sinα*sinβ ] / [ cos(α+β)*cosα ]
tan(α+β)*tanα = [ (-sinα)*(cosβ*sinα + cosα*sinβ) - cosβ ] / [ cos(α+β)*cosα ]
tan(α+β)*tanα = [ (-sinα)*sin(α+β) - cosβ ] / [ cos(α+β)*cosα ] 移项
2tan(α+β)*tanα = - cos(α+β-α) / [ cos(α+β)*cosα ]
2tan(α+β)*tanα = [ - cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα ] / [ cos(α+β)*cosα ]
最后得 tan(α+β)*tanα = -1