Question

高中等比数列题，求解求过程

已知A1=5/6，且以A1，A2……An为系数的二次方程(An-1)X^2-AnX+1=0,nEN,n>=2.都有根a，b满足3a-ab+3b=1.
1，求证｛An-1/2｝为等比；
2.求An
3.求An的前n项和Sn
第一问里是：An减去二分之一

Answer 1

解：
(1)
证：
由韦达定理，得
a+b=an/a(n-1)
ab=1/a(n-1)
3a-ab+3b=3(a+b)-ab=3an/a(n-1)-1/a(n-1)=(3an-1)/a(n-1)=1
3an-1=a(n-1)
3an-3/2=a(n-1)-1/2
(an-1/2)/[a(n-1)-1/2]=1/3，为定值。
a1-1/2=5/6-1/2=1/3
数列{an-1/2}是首项为1/3，公比为1/3的等比数列。
(2)
an=(1/3)(1/3)^(n-1)=1/3^n
数列{an}通项公式为an=1/3^n
(3)
Sn=(1/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
=(1-1/3^n)/2