Question

已知抛物线的顶点是x^2/4+y^2/3=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合（1）求抛物线D的方程

（2）是否存在垂直与x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程，如果不存在说明理由

Answer 1

已知抛物线的顶点是x^2/4+y^2/3=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合（（1）求抛物线D的方程
(2)已知直线L过点P（4,0），交抛物线D于A、B两点，坐标原点O为PQ中点，求证：角AQP=角BQP
（3）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程，如果不存在，说明理由。
解：椭圆x²/4+y²/3=1
a²=4，b²=3
c²=a²-b²=4-3=1
c=1
右焦点（1，0）
抛物线D：y²=2px
p=2，所以方程：y²=4x
（2）当直线和x轴垂直的时候，那么很明显∠AQP=∠BQP
当直线和x轴不垂直的时候，设A（x1，y1）B（x2，y2）
设直线x=ky+4，代入抛物线方程y²=4x
整理：y²-4ky-16=0
韦达定理：y1+y2=4k，y1y2=-16
因为O为OQ中点，所以点Q（-4，0）
Kaq=(y1-0)/(x1+4)=y1/(ky1+8)
kbq=(y2-0)/(x2+4)=y2/(ky2+8)
kaq+kbq=y1/(ky1+8)+y2/(ky2+8)
=[y1(ky2+8)+y2(ky1+8)]/[(ky1+8)(ky2+8)]
=(ky1y2+8y1+ky1y2+8y2)/[k²y1y2+8ky2+8ky1+64)
=[2ky1y2+8(y1+y2)]/[k²y1y2+8k(y1+y2)+64]
=(-32k+32k)/(16k²+64)
=0
所以∠AQP=∠BQP
(3)AP中点M（(x1+4)/2，y1/2）
设垂直x轴的直线为x=a
圆心到直线距离=｜(x1+4)/2-a｜=｜(x1+4-2a)/2｜
半径=1/2√(x1-4)²+y1²
过点M作ME垂直x=a，垂足为E
x=a交圆于G，K
EG²=MG²-ME²=[(x1-4)²+y1²]/4-(x1+4-2a)²/4
=(x1²-8x1+16+4x1-x1²-16-4a²-8x1+4ax1+16a)/4
=ax1-3x1-a²+4a
=(a-3)x1-a²+4a
若和x1无关，那么a=3
此时弦长为定值2√3