Question

线性代数：计算行列式Dn=a 1 。。。 1 a Dk列为k阶行列式

计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）：
（1） ∣a 1 ∣
∣ . ∣
Dn=∣ . ∣
∣1 a ∣,其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0.[行列式的竖线是连起来的，中间是斜着的三个点。]
麻烦写出详细步骤，十分感谢~

Answer 1

只需先将左下角的1化为零，然后行列式就成了上三角形行列式。
先进行Rn-(1/a)R1，最后一行变为：0 …… (a^2-1)/a，再将对角线上的数相乘，a*a……*(a^2-1)/a=(a^2-1)*(a的n-2次方) ，这就是最后结果。
a 0 ... 0 1
0 a ... 0 0
... ... ...
0 0 ... a 0
1 0 ... 0 a
最后一行减去第一行的（1/a），得
a 0 ... 0 1
0 a ... 0 0
... ... ...
0 0 ... a 0
0 0 ... 0 (a^2-1)/a
现在它变成了一个，上三角行列式，直接对角线上的数相乘就是最后结果。
a*a……*(a^2-1)/a=(a^2-1)*(a的n-2次方）

Answer 2

你说的是图中题吗？ 答案是a^n+a^(n-2)

Answer 3

按照第一行展开，Dn＝a×a^(n-1)＋(-1)^(n+1)×A1n，行列式A1n是a1n＝1的代数余子式，把A1n再按照第一列展开，得A1n＝(-1)^n×a^(n-2)，所以Dn＝a^n－a^(n-2)

Answer 4

你好 请问你学到展开定理了吗? 只能用性质做?

追问

学了，展开，余子式，性质都学了，那应该怎么做？

追答

a 0 ... 0 1
0 a ... 0 0
... ... ...
0 0 ... a 0
1 0 ... 0 a

第1行减a倍的第n行, 得
0 0 ... 0 1-a^2
0 a ... 0 0
... ... ...
0 0 ... a 0
1 0 ... 0 a

按第1行展开,得 (1-a^2)*(-1)^(1+n)*
0 a ... 0
... ...
0 0 ... a
1 0 ... 0

再按第1列展开,得 1*(-1)^(n-1+1)*
a ... 0
... ...
0 ... a

所以行列式等于
(1-a^2)*(-1)^(1+n)*1*(-1)^(n-1+1)*a^(n-2)
= (a^2-1)*a^(n-2)
= a^n - a^(n-2).

满意请采纳 ^-^.

追问

方法很好，很详细，可是答案应该是a的（n-2)次方乘以（a方+1)呀

追答

书上答案肯定是错的!
不用展开定理解法::

第1行减a倍的第n行, 得
0 0 ... 0 1-a^2
0 a ... 0 0
... ... ...
0 0 ... a 0
1 0 ... 0 a

交换第1行和第n行得一上三角行列式
1 0 ... 0 a
0 a ... 0 0
... ... ...
0 0 ... a 0
0 0 ... 0 1-a^2
行列式 = -(1-a^2)*a^(n-2).