Question

问一道数学题（关于导数的）

已知函数f(x)=ax^4lnx+bx^4-c (x＞0)，在x=1处取极值-3-c.其中a,b,c是常数，
（1） 试确定a,b的值
（2） 讨论f(x)的单调区间
（3） 若对任意的x＞0，不等式f(x)≥-2c²恒成立，求c 的取值范围

Answer 1

f(x)=ax^4lnx+bx^4-c，则：
f'(x)=ax^3+4ax^3lnx+4bx^3，
在x=1处取极值-3-c，则：
f'(1)=a+4b=0，
f(1)=b-c=-3-c，
所以b=-3，a=12。

因为b=-3，a=12，
所以f'(x)=48x^3lnx。 (x>0)
0<x<1时，lnx<0，则： f'(x)<0；
x>1时， lnx>0，则： f'(x)>0。
故f(x)在(0，1)单调递减，在(1，+无穷)单调递增。

b=-3，a=12时，
f(x)=12x^4lnx-3x^4-c，
f(x)在x=1处取得最小值：-3-c。
所以f(x)>=-3-c，
由f(x)>=-2c²，得：
-3-c>=-2c²，
(c+1)(2c-3)>=0，
c<=-1, c>=3/2。
即为所求c 的取值范围。

Answer 2

(1)
f(x) = ax^4lnx+bx^4-c
f'(x) = 3ax^3lnx+ax^3+4bx^3
f'(1) = a+4b = 0
=> a = -4b
f(1) = b-c = -3-c
=> b=-3
a = 12
(2)
f(x) = 12x^4lnx-3x^4- c
f'(x) = 36x^3lnx
x∈(0,1), f'(x) <0
x∈(1,∞), f'(x) >0
f(x) is decreasing on (0,1)
f(x) is increasing on (1,∞)
(3)
x>0, f(x) ≥-2c²
minf(x) = f(1)
f(1) ≥-2c²
=> -3-c≥-2c²
2c^2-c-3 ≥ 0
(2c-3)(c+1)≥ 0
c≥ 3/2 or c≤-1

Answer 3

f(x)=ax^4lnx+bx^4-c，则
f'(x)=ax^3+4ax^3lnx+4bx^3，
在x=1处取极值-3-c，则
f'(1)=a+4b=0，
f(1)=b-c=-3-c，
所以b=-3，a=12。

因为b=-3，a=12
所以f'(x)=48x^3lnx。 (x>0)
0<x<1时，lnx<0，则： f'(x)<0
x>1时， lnx>0，则： f'(x)>0
故f(x)在(0，1)单调递减，在(1，+无穷)单调递增

b=-3，a=12时
f(x)=12x^4lnx-3x^4-c
f(x)在x=1处取得最小值：-3-c
所以f(x)>=-3-c，
由f(x)>=-2c²，得：
-3-c>=-2c²，
(c+1)(2c-3)>=0，
c<=-1, c>=3/2。
即为所求c 的取值范围