Question

一道概率题,牛人请帮忙解答,谢谢.

"掷均匀硬币直至接连两个正面为止,求:共需要掷n次才停止的概率"

这道题和菲伯纳吉数列与迭代有关...只能想到这里了...

请牛人解答,谢谢了!

Answer 1

这道题的关键在于找到递推关系，并且建立一个准确的数学模型来进行状态表示。
设，投掷n次刚好达到要求（也就是之前都没有达到要求，这次刚好达到要求）的概率为a[n],那么容易看出
a[1]=0;a[2]=0.5*0.5=1/4;
设，（投掷n次没有达到要求，并且第n次是正面的概率）为b[n]
那么b[1]=0.5;b[2]=1/4;
b[n]=0.5*(1-b[n-1]-a[n-1])
所以，a[n]=b[n-1]*0.5
之后利用特征方程或者配凑系数法求通项。求出b[n]的通项就可以求出a[n]的了。看看这两个递推关系你能不能琢磨出来是怎么回事，我想你既然做到这么难的题了，应该也是很强的^-^

Answer 2

掷n次时停止，投掷序列呈形式：......THH，前n-3次中没有两个连续的H(T表示反面,H表示正面)，不妨称这种形式的序列为长度为n的停止序列．设长度为n的停止序列有s(n)个．
一个长度为n的停止序列可以分成两类：(1).....TTHH和(2)......HTHH.
每个第一类长度为n的停止序列.....TTHH与一个长度为n-1的停止序列.....THH一一对应(按前面部分完全相同对应)；
每个第二类长度为n的停止序列.....HTHH,再前面一个字母一定是T，所以与一个长度为n-2的停止序列.....HH一一对应(按前面部分完全相同对应).
所以s(n)=s(n-1)+s(n-2),(n≥4)
容易知道s(2)=1,s(3)=1.所以s(n)=f(n-1),这里f(n)表示菲波那契数列:f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,....
掷n次才停止的概率=s(n)/2^n=f(n-1)/2^n.